합성 삼각함수 방정식

[출제의도] 삼각함수의 그래프를 이용하여 방정식의 해 추론하기 $\left( f {\circ} h \right) \left( x \right)$$= \cos \left( a {\pi} x + b {\pi} \right)$$\displaystyle = {\begin{cases} \cos a {\pi} x & & & \left( b \text{는} \text{짝수} \right) \\ - \cos a {\pi} x & & & \left( b \text{는} \text{홀수} \right) \end{cases}}$ 이고 $\left( h {\circ} g \right) \left( x \right) = a {\sin {\pi} x} + b$이다. 두 자연수 $a , b$에 대하여 $\displaystyle \left( h {\circ} g \right) \left( \frac{3}{2} \right)$$\displaystyle = {a} \sin \frac{3}{2} \pi + b$$= - a + b$ 는 정수이므로 조건 (가)의 방정식의 실근이 존재하기 위한 $- a + b$의 값은 $- 1$ 또는 $0$ 또는 $1$이다. 함수 $\displaystyle \left( f {\circ} h \right) \left( x \right) = {\begin{cases} \cos a {\pi} x & & & \left( b \text{는} \text{짝수} \right) \\ - \cos a {\pi} x & & & \left( b \text{는} \text{홀수} \right) \end{cases}}$ 의 그래프는 주기가 $\displaystyle \frac{2}{a}$이므로 (ⅰ) $b$가 짝수인 경우

$\displaystyle \frac{2}{a}$ $y = \cos a \pi x$ $y = \mathit{-} 1$

① $- a + b = 1$일 때 두 함수 $y = \left( f {\circ} h \right) \left( x \right)$$= \cos a {\pi} x$와 $y = - a + b$의 그래프의 교점의 개수는 $2 a + 1$ ② $- a + b = 0$일 때 두 함수 $y = \left( f {\circ} h \right) \left( x \right)$$= \cos a {\pi} x$와 $y = - a + b$의 그래프의 교점의 개수는 $4 a$ ③ $- a + b = - 1$일 때 두 함수 $y = \left( f {\circ} h \right) \left( x \right)$$= \cos a {\pi} x$와 $y = - a + b$의 그래프의 교점의 개수는 $2 a$ 따라서 두 함수 $y = \left( f {\circ} h \right) \left( x \right)$$= \cos a {\pi} x$와 $y = - a + b$의 그래프의 교점의 개수가 홀수이려면 $- a + b = 1$이다. $b = a + 1$이므로 $a$는 홀수이다. (ⅱ) $b$가 홀수인 경우

$\displaystyle \frac{2}{a}$ $y = \mathit{-} \cos a \pi x$ $y = \mathit{-} 1$

① $- a + b = 1$일 때 두 함수 $y = \left( f {\circ} h \right) \left( x \right)$$= \cos a {\pi} x$와 $y = - a + b$의 그래프의 교점의 개수는 $2 a$ ② $- a + b = 0$일 때 두 함수 $y = \left( f {\circ} h \right) \left( x \right)$$= \cos a {\pi} x$와 $y = - a + b$의 그래프의 교점의 개수는 $4 a$ ③ $- a + b = - 1$일 때 두 함수 $y = \left( f {\circ} h \right) \left( x \right)$$= \cos a {\pi} x$와 $y = - a + b$의 그래프의 교점의 개수는 $2 a + 1$ 따라서 두 함수 $y = \left( f {\circ} h \right) \left( x \right)$$= \cos a {\pi} x$와 $y = - a + b$의 그래프의 교점의 개수가 홀수이려면 $- a + b = - 1$이다. $b = a - 1$이므로 $a$는 짝수이다. 조건 (나)에서 방정식 $\left( f {\circ} h \right) \left( x \right) = \left( h {\circ} g \right) \left( t \right)$의 해는 (ⅰ) $a$가 홀수, $b$가 짝수인 경우 $b = a + 1$이므로 (나)의 방정식은 $\cos a {\pi} x$$= a {\sin {\pi} t} + \left( a + 1 \right)$$= a \left( \sin \pi {t} + 1 \right) + 1$ 이고 $a \left( \sin {\pi} t + 1 \right) + 1 \geq 1$이므로 $\cos a {\pi} t = 1$이다. $0 {\leq} x {\leq} 4$일 때, 서로 다른 실근의 개수는 $2 a + 1$이고 함수 $y = \cos a {\pi} x$의 그래프는 직선 $x = 2$에 대하여 대칭이다. 따라서 $0 {\leq} x {\leq} 4$일 때, 서로 다른 모든 실근의 합은 $\left( 2 a + 1 \right) \times 2 = 4 a + 2 = 56$이 되어 자연수 $a$는 존재하지 않는다. (ⅱ) $a$가 짝수, $b$가 홀수인 경우 $b = a - 1$이므로 (나)의 방정식은 $- \cos a {\pi} x$$= {a} \sin {\pi} t + \left( a - 1 \right)$$= a \left( \sin {\pi} t + 1 \right) - 1$ 이고 $a \left( \sin {\pi} t + 1 \right) - 1 \geq - 1$이므로 서로 다른 실근의 개수에 따라 다음과 같이 세 가지 경우로 나눌 수 잇다. ① ${a} \sin {\pi} t + \left( a - 1 \right) = - 1$인 경우 $0 {\leq} x {\leq} 4$일 때, $- \cos a {\pi} x = - 1$의 서로 다른 실근의 개수는 $2 a + 1$이고 함수 $y = - \cos a {\pi} x$의 그래프는 직선 $x = 2$에 대하여 대칭이다. 따라서 $0 {\leq} x {\leq} 4$일 때, 서로 다른 모든 실근의 합은 $\left( 2 a + 1 \right) \times 2 = 4 a + 2 = 56$이 되어 자연수 $a$는 존재하지 않는다. ② $- 1 < {a} \sin {\pi} t + \left( a - 1 \right) < 1$인 경우 $0 {\leq} x {\leq} 4$일 때, $- \cos a {\pi} x = {a} \sin {\pi} t + \left( a - 1 \right)$의 서로 다른 실근의 개수는 $4 a$이고 함수 $y = - \cos a {\pi} x$의 그래프는 직선 $x = 2$에 대하여 대칭이다. 따라서 $0 {\leq} x {\leq} 4$일 때, 서로 다른 모든 실근의 합은 $4 a {\times} 2 = 8 a = 56$이 되어 짝수 $a$는 존재하지 않는다. ③ ${a} \sin {\pi} t + \left( a - 1 \right) = 1$인 경우 $0 {\leq} x {\leq} 4$일 때, $- \cos a {\pi} x = 1$의 서로 다른 실근의 개수는 $2 a$이고 함수 $y = - \cos a {\pi} x$의 그래프는 직선 $x = 2$에 대하여 대칭이다. 따라서 $0 {\leq} x {\leq} 4$일 때, 서로 다른 모든 실근의 합은 $2 a \times 2 = 4 a = 56$이다. 그러므로 $a = 14$, $b = 13$이다. $\left( h {\circ} g \right) \left( t \right)$$= {a} \sin {\pi} t + b$$= 14 \sin {\pi} t + 13$$= 1$에서 방정식 $\left( f {\circ} h \right) \left( x \right) = \left( h {\circ} g \right) \left( t \right)$의 서로 다른 모든 실근의 합이 $56$이 되도록 하는 실수 $t$는 $\displaystyle \sin {\pi} t = - \frac{6}{7}$을 만족시키므로 $\displaystyle \cos ^{2} {\pi} t = \frac{13}{49}$이다. 따라서 $\displaystyle \frac{a {\times} b}{\cos ^{2} {\pi} t}$$\displaystyle = \frac{14 \times 13}{\frac{13}{49}}$$= 686$