합성 삼각방정식

[출제의도] 삼각함수의 그래프를 이해하여 함숫값을 추론한다. (가)에서 $g ( a \pi ) = \mathit{-} 1$ 또는 $g ( a \pi ) = 1$이다. $\sin \left( a \pi \right)$$= \mathit{-} 1$에서 $\displaystyle a = \frac{3}{2}$, $\sin \left( a \pi \right)$$= 1$에서 $\displaystyle a = \frac{1}{2}$ (나)에서 방정식 $f ( g ( x ) ) = 0$의 해가 존재하므로 $- 1 \leq t \leq 1$이고 $f ( t ) = 0$인 실수 $t$가 존재한다.

$0 \leq x \leq 2 \pi$에서 방정식 $g ( x ) = t$의 모든 해의 합은 $t = \mathit{-} 1$일 때 $\displaystyle \frac{3}{2} \pi$, $- 1 < t \leq 0$일 때 $3 \pi$, $0 < t < 1$일 때 $\pi$, $t = 1$일 때 $\displaystyle \frac{\pi}{2}$이다. $0 \leq x \leq 2 \pi$일 때, 방정식 $f ( g ( x ) ) = 0$의 모든 해의 합이 $\displaystyle \frac{5}{2} \pi$이므로 방정식 $f ( x ) = 0$은 두 실근 $- 1$, $\alpha$를 가지고 $0 < \alpha < 1$이다. (ⅰ) $\displaystyle a = \frac{3}{2}$인 경우 $\displaystyle f ( x ) = x ^{2} + \frac{3}{2} x + b$에서 $f ( - 1 ) = 0$이므로 $\displaystyle f ( - 1 ) = b - \frac{1}{2} = 0$ 즉, $\displaystyle b = \frac{1}{2}$ $f ( x )$$\displaystyle = x ^{2} + \frac{3}{2} x + \frac{1}{2}$$\displaystyle = \left( x + 1 \right) \left( x + \frac{1}{2} \right)$에서 방정식 $f ( x ) = 0$의 두 근은 $x = \mathit{-} 1$ 또는 $\displaystyle x = \mathit{-} \frac{1}{2}$ 이므로 조건을 만족시키지 못한다. (ⅱ) $\displaystyle a = \frac{1}{2}$인 경우 $\displaystyle f ( x ) = x ^{2} + \frac{1}{2} x + b$에서 $f ( - 1 ) = 0$이므로 $f ( - 1 )$$\displaystyle = b + \frac{1}{2}$$= 0$ 즉, $\displaystyle b = \mathit{-} \frac{1}{2}$ $f ( x )$$\displaystyle = x ^{2} + \frac{1}{2} x - \frac{1}{2}$$\displaystyle = \left( x + 1 \right) \left( x - \frac{1}{2} \right)$에서 방정식 $f ( x ) = 0$의 두 근은 $x = \mathit{-} 1$ 또는 $\displaystyle x = \frac{1}{2}$ 이므로 조건을 만족시킨다. (ⅰ), (ⅱ)에서 $\displaystyle f ( x ) = x ^{2} + \frac{1}{2} x - \frac{1}{2}$이고 $f ( 2 )$$\displaystyle = \frac{9}{2}$이다.