대수지수함수와 로그함수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

합성 지수함수 최대최소

문제

두 함수 f(x)f ( x ), g(x)g ( x )를 f(x)=x2−6x+3f ( x ) = x ^{2} - 6 x + 3, g(x)=axg ( x ) = a ^{x}(a>0a > 0, a≠1a \ne 1) 이라 하자. 1≤x≤41 \leq x \leq 4에서 함수 (g∘f)(x)( g \circ f ) ( x )의 최댓값은 2727, 최솟값은 mm이다. mm의 값은? [4점] ①127\displaystyle \frac{1}{27}②13\displaystyle \frac{1}{3}③33\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}④33⑤33\displaystyle 3 \sqrt{3}

정답 보기
④

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

[출제의도] 이차함수와 지수함수의 합성함수의 최대ㆍ최소를 이해한다. f(x)=x2−6x+3=(x−3)2−6f ( x ) = x ^{2} - 6 x + 3 = ( x - 3 ) ^{2} - 6이므로 1≤x≤41 \leq x \leq 4에서 −6≤f(x)≤−2- 6 \leq f ( x ) \leq - 2이다.

ⅰ) 0<a<10 < a < 1일 때 g(x)=axg ( x ) = a ^{x}는 감소함수이므로 (g∘f)(x)( g \circ f ) ( x )는 f(x)=−6f ( x ) = - 6일 때 최댓값을 갖고, f(x)=−2f ( x ) = - 2일 때 최솟값을 갖는다. 따라서 a−6=27a ^{- 6} = 27이므로 a=33\displaystyle a = \frac{\sqrt{3}}{3} ∴ m=a−2=3m = a ^{- 2} = 3 ⅱ) a>1a > 1일 때 g(x)=axg ( x ) = a ^{x}는 증가함수이므로 (g∘f)(x)( g \circ f ) ( x )는 f(x)=−2f ( x ) = - 2일 때 최댓값을 갖고, f(x)=−6f ( x ) = - 6일 때 최솟값을 갖는다. 따라서 a−2=27a ^{- 2} = 27이므로 a=39\displaystyle a = \frac{\sqrt{3}}{9} 그런데 a>1a > 1을 만족시키지 않으므로 이 경우는 불가능하다. ⅰ), ⅱ)에서 (g∘f)(x)( g \circ f ) ( x )의 최솟값은 33이다.

태그

#지수함수#최대최소

비슷한 문제 더 보기

대수 문제 모음대수 지수함수와 로그함수 문제 모음수능 문제 모음심화 문제 모음
← 전체 문제 목록으로