합집합을 포함하는 배수 집합의 최대 k

$A _{8} \cup A _{12} \subset A _{k}$이면 $A _{8} \subset A _{k}$이고 $A _{12} \subset A _{k}$이다. $A _{8} \subset A _{k}$에서 $8 \in A _{k}$이므로 $k$는 $8$의 약수이고, $A _{12} \subset A _{k}$에서 $12 \in A _{k}$이므로 $k$는 $12$의 약수이다. 즉 $k$는 $8$과 $12$의 공약수이다. 거꾸로 $k$가 $8$과 $12$의 공약수이면 $8$의 배수와 $12$의 배수는 모두 $k$의 배수이므로 $A _{8} \cup A _{12} \subset A _{k}$이다. $8$과 $12$의 최대공약수는 $4$이므로 $k$의 최댓값은 $4$이다. ②