합이 일정한 두 양수의 역수 꼴 최솟값

$x > 0$, $y > 0$이므로 $\displaystyle x = ( \sqrt{x} ) ^{2}$, $\displaystyle y = ( \sqrt{y} ) ^{2}$으로 놓고 코시-슈바르츠 부등식을 쓰면 $\displaystyle ( x + y ) \left( \frac{1}{x} + \frac{4}{y} \right) \geq \left( \sqrt{x} \times \frac{1}{\sqrt{x}} + \sqrt{y} \times \frac{2}{\sqrt{y}} \right) ^{2} = ( 1 + 2 ) ^{2} = 9$ $x + y = 3$이므로 $\displaystyle 3 \left( \frac{1}{x} + \frac{4}{y} \right) \geq 9$ $\displaystyle \frac{1}{x} + \frac{4}{y} \geq 3$ 등호는 $x : y = 1 : 2$, 즉 $x = 1$, $y = 2$일 때 성립하고 이때 $\displaystyle \frac{1}{1} + \frac{4}{2} = 3$이다. 따라서 최솟값은 $3$