합과 일반항 관계의 수열

[출제의도] 이해능력-수열 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} a _{k} = 2 a _{n} - 6$에 $n = 1$을 대입하면 $a _{1} = 2 a _{1} - 6$에서 $a _{1} = 6$ $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n + 1} a _{k} = 2 a _{n + 1} - 6$이므로 모든 자연수 $n$에 대하여 $\displaystyle a _{n + 1} = \sum\limits _{k = 1} ^{n + 1} a _{k} - \sum\limits _{k = 1} ^{n} a _{k} = 2 a _{n + 1} - 2 a _{n}$ $a _{n + 1} = 2 a _{n}$이므로 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$은 첫째항이 6이고, 공비가 2인 등비수열이다. 따라서 $a _{n} = 6 \times 2 ^{n - 1} = 3 \times 2 ^{n}$이므로 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{10} \frac{a _{n}}{2 ^{n}} = \sum\limits _{n = 1} ^{10} 3 = 30$