합과 일반항 관계로 특정항 구하기

$f ( 1 ) = a _{1}$, $f ( 2 ) = a _{2}$, $\cdots$, $f ( n ) = a _{n}$이라 하면, $S _{n} = a _{1} + a _{2} + \cdots + a _{n} = n ^{2} \cdot a _{n} \cdots$(1) $S _{n+1} = ( n + 1 ) ^{2} a _{n+1} \cdots$(2) 그러므로 $S _{n+1} - S _{n} = a _{n+1} = ( n + 1 ) ^{2} a _{n+1} - n ^{2} a _{n}$ $\displaystyle \frac{a _{n+1}}{a _{n}} = \frac{n ^{2}}{n ( n + 2 )} = \frac{n}{n + 2} \cdots$(3) 식 (3)은 $n = 1 , 2 , 3 , \cdots$인 경우 다음과 같다. $n = 1$일 때 : $\displaystyle \frac{a _{2}}{a _{1}} = \frac{1}{3}$ $n = 2$일 때 : $\displaystyle \frac{a _{3}}{a _{2}} = \frac{2}{4}$ $n = 3$일 때 : $\displaystyle \frac{a _{4}}{a _{3}} = \frac{3}{5}$ $\vdots$ $n = n - 2$일 때 : $\displaystyle \frac{a _{n - 1}}{a _{n - 2}} = \frac{n - 2}{n}$ $n = n - 1$일 때 : $\displaystyle \frac{a _{n}}{a _{n - 1}} = \frac{n - 1}{n + 1}$ 따라서, 모든 변을 곱하면 $\displaystyle \frac{a _{n}}{a _{1}} = \frac{2}{n ( n + 1 )}$, $\displaystyle \therefore a _{n} = \frac{2}{n ( n + 1 )}$ $\displaystyle \therefore f ( 2003 ) = a _{2003} = \frac{2}{2003 \cdot 2004} = \frac{1}{2003 \cdot 1002}$