대수수열의 합수능 기출기본 문제 (3점 중반)

합과 일반항 관계 과정

문제

모든 항이 양수인 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}의 첫째항부터 제nn항까지의 합을 SnS _{n}이라 하자. 다음은 2Sn=an+9an\displaystyle 2 S _{n} = a _{n} + \frac{9}{a _{n}} (n=1n = 1, 22, 33, ⋯\cdots)일 때, S100S _{100}을 구하는 과정이다.

(ⅰ) n=1n = 1일 때, a1=a _{1} = (가)

(ⅱ) n≥2n \geq 2일 때, an=Sn−Sn−1a _{n} = S _{n} - S _{n - 1}이므로 2Sn=Sn−Sn−1+9Sn−Sn−1\displaystyle 2 S _{n} = S _{n} - S _{n - 1} + \frac{9}{S _{n} - S _{n - 1}}이다. 따라서 (Sn)2−(Sn−1)2=\left( S _{n} \right) ^{2} - \left( S _{n - 1} \right) ^{2} = (나) 이다. ∴S100=\therefore S _{100} = (다)

위 과정에서 (가), (나), (다)에 들어갈 모든 수의 합은? [3점] ①3939②4040③4141④4242⑤4343

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④

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해설

[출제의도] 수열의 합 추론하기 (ⅰ) n=1n = 1일 때, a1=3a _{1} = 3 (ⅱ) n≥2n \geq 2일 때, an=Sn−Sn−1a _{n} = S _{n} - S _{n - 1}이므로 2Sn=Sn−Sn−1+9Sn−Sn−1\displaystyle 2 S _{n} = S _{n} - S _{n - 1} + \frac{9}{S _{n} - S _{n - 1}}이다. (Sn)2−(Sn−1)2=9\left( S _{n} \right) ^{2} - \left( S _{n - 1} \right) ^{2} = 9 따라서 수열 {(Sn)2}\left\{ \left( S _{n} \right) ^{2} \right\}은 첫째항이 99이고, 공차가 99인 등차수열이다. (Sn)2=9n\left( S _{n} \right) ^{2} = 9 n이므로 Sn=3n\displaystyle S _{n} = 3 \sqrt{n} (n≥1n \geq 1)이다. ∴S100=30\therefore S _{100} = 30

태그

#S_n과 a_n#증명 빈칸

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