합과 일반항 관계

[출제의도] 등비수열을 활용하여 문제해결하기 $a _{n + 1} = 1 - 4 \times S _{n}$에서 $\displaystyle S _{n} = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} a _{n + 1}$ $n = 1$일 때, $\displaystyle a _{1} = S _{1} = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} a _{2}$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ $n \geq 2$일 때, $a _{n}$$= S _{n} - S _{n - 1}$ $\displaystyle = \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{4} a _{n + 1} \right) - \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{4} a _{n} \right)$ $\displaystyle = - \frac{1}{4} a _{n + 1} + \frac{1}{4} a _{n}$ 이므로 $a _{n + 1} = - 3 a _{n} ( n \geq 2 )$ 즉, 수열 $\left\{ a _{n + 1} \right\}$은 첫째항이 $a _{2}$이고 공비가 $\mathrm{-} 3$인 등비수열이다. $a _{4} = a _{2} \times ( - 3 ) ^{2} = 4$에서 $\displaystyle a _{2} = \frac{4}{9}$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ $a _{6} = a _{4} \times \left( - 3 \right) ^{2} = 4 \times 9 = 36$ ㉠, ㉡에서 $\displaystyle a _{1} = \frac{5}{36}$ 따라서 $\displaystyle a _{1} \times a _{6} = \frac{5}{36} \times 36 = 5$