합과 일반항 빈칸

수열 $\left\{ a _{n} \right\}$이 $a _{1} = 2$, $\displaystyle a _{1} + a _{2} + a _{3} + \cdots + a _{n} = \frac{n + 2}{3} a _{n} \left( n \geq 1 \right)$ 을 만족시킨다. 다음은 일반항 $a _{n}$을 구하는 과정의 일부이다.

수열 $\left\{ a _{n} \right\}$에 대하여 $a _{1} + a _{2} + a _{3} + \cdots + a _{n} = S _{n}$이라 하자. 모든 자연수 $n$에 대하여 $3 S _{n} = ( n + 2 ) a _{n}$이고 $3 S _{n + 1} = ( n + 3 ) a _{n + 1}$이므로 $a _{n + 1} = {\square {( \text{가} )}} \times a _{n}$ $\vdots$ $\displaystyle a _{n} = \frac{a _{1} \times 3 \times 4 \times \cdots \times n \times \left( n + 1 \right)}{\left( n - 1 \right) !}$ 따라서 $a _{n} = {\square {( \text{나} )}} ( n \geq 1 )$

위의 (가)에 알맞은 식을 $f ( n )$, (나)에 알맞은 식을 $g ( n )$이라 할 때, $f ( 11 ) \times g ( 10 )$의 값은? [4점] ①$100$②$110$③$120$④$130$⑤$140$