합과 일반항 빈칸

모든 항이 양수인 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합을 $S _{n}$이라 할 때, $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} \frac{6 S _{k}}{a _{k} + 3} = S _{n}$ $( n \geq 1 )$ 이 성립한다. 다음은 수열$\left\{ a _{n} \right\}$의 일반항을 구하는 과정의 일부이다.

주어진 식에 $n = 1$을 대입하면 $S _{1} > 0$이므로 $a _{1} =$$\square {( \text{가} ) _{} ^{{}^{}}}$이다. $\displaystyle a _{n} = \sum\limits _{k = 1} ^{n} \frac{6 S _{k}}{a _{k} + 3} - \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} \frac{6 S _{k}}{a _{k} + 3} = \frac{6 S _{n}}{a _{n} + 3}$ ($n \geq 2$)이고 $\displaystyle a _{1} = \frac{6 S _{1}}{a _{1} + 3}$이므로 $\square {( \text{나} ) _{} ^{{}^{}}}$$\cdot S _{n} = a _{n} ^{2} +$$\square {( \text{가} ) _{} ^{{}^{}}}$$\cdot a _{n}$ ($n \geq 1$)이다. 한편, $6 ( S _{n + 1} - S _{n} ) = a _{n + 1} ^{2} + 3 a _{n + 1} - ( a _{n} ^{2} + 3 a _{n} )$이므로 $6 a _{n + 1} = a _{n + 1} ^{2} - a _{n} ^{2} + 3 a _{n + 1} - 3 a _{n}$

$\vdots$

따라서 $a _{n} =$$\square {( \text{다} ) _{} ^{{}^{}}}$

위의 (가), (나)에 알맞은 수를 각각 $p$, $q$라 하고, (다)에 알맞은 식을 $f \left( n \right)$이라 할 때, $p + q + f \left( 10 \right)$의 값은? [4점] ①$36$②$39$③$42$④$45$⑤$48$