대수수열의 합수능 기출기본 문제 (3점 중반)

합과 계차가 등차수열

문제

수열 {an}\{ a _{n} \}의 첫째항부터 제 nn항까지의 합 SnS _{n}은 Sn=n3+pnS _{n} = n ^{3} + p n이고, 수열 {bn}\{ b _{n} \}은 다음 조건을 모두 만족시킨다. (가) b1=a1b _{1} = a _{1} (나) bn=an−an−1b _{n} = a _{n} - a _{n - 1} (n≥2n \geq 2)

수열 {bn}\{ b _{n} \}이 등차수열일 때, 상수 pp의 값은? [3점] ①33②13\displaystyle \frac{1}{3}③−13\displaystyle - \frac{1}{3}④−1- 1⑤−3- 3

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④

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해설

(가) 조건에서 b1=a1=p+1b _{1} = a _{1} = p + 1 또한, an=Sn−Sn−1(n≥2)a _{n} = S _{n} - S _{n-1} ( n \geq 2 )이므로 ana _{n}을 구해보면 an=n3+pn−{(n3−3n2+3n−1)+pn−p}a _{n} = n ^{3} + pn - \left\{ ( n ^{3} - 3 n ^{2} + 3 n - 1 ) + pn - p \right\} ∴an=3n2−3n+p+1\therefore a _{n} = 3 n ^{2} - 3 n + p + 1(n≥1n \geq 1, ∵a1=S1\because a _{1} = S _{1}) (나) 조건에 의해 bnb _{n}을 계산해주면 ∴bn=an−an−1=3n2−3n+p+1−{3n2−6n+3−3n+3+p+1}\therefore b _{n} = a _{n} - a _{n-1} = 3 n ^{2} - 3 n + p + 1 - \left\{ 3 n ^{2} - 6 n + 3 - 3 n + 3 + p + 1 \right\} =6n−6= 6 n - 6 이 때, b1=p+1=0b _{1} = p + 1 = 0을 만족시켜야 초항부터 등차수열을 만족하므로 ∴p=−1\therefore p = - 1

태그

#합과 일반항#등차수열

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