합으로 주어진 수열

[출제의도] 수열의 합의 성질을 이용하여 문제를 해결한다. $S _{n}$이 주어진 조건을 만족시키면 $i \ne j$인 임의의 두 자연수 $i$, $j$에 대하여 $S _{i} - S _{j}$$\ne 0$이므로 $S _{i} - S _{j}$$= \left( \pi ^{2} - 36 i + q \right) - \left( pj ^{2} - 36 j + q \right)$$= \left( i - j \right) \left( p i + pj - 36 \right)$$\ne 0$ 따라서 $i + j$$\displaystyle \ne \frac{36}{p}$ $p \leq 4$이면 $i + j$$\displaystyle = \frac{36}{p}$인 서로 다른 두 자연수 $i$, $j$가 존재한다. $p$$= 5$이면 $i + j$$\displaystyle = \frac{36}{p}$인 서로 다른 두 자연수 $i$, $j$가 존재하지 않는다. 따라서 $p$의 최솟값은 $5$, 즉 $p _{1}$$= 5$이다. $p$$= 5$일 때, $S _{n}$$= 5 n ^{2} - 36 n + q$이므로 $a _{1}$$= S _{1}$$= q - 31$, $n \geq 2$일 때, $a _{n}$$= S _{n} - S _{n - 1}$$= 10 n - 41$ 이때 $a _{2}$$= \mathit{-} 21$, $a _{3}$$= \mathit{-} 11$, $a _{4}$$= \mathit{-} 1$, $a _{5}$$= 9$, $a _{6}$$= 19$, $a _{7}$$= 29$, $\cdots$ $\left| a _{k} \right| < a _{1}$을 만족시키는 자연수 $k$의 개수가 $3$이므로 $k$의 값은 $3$, $4$, $5$이다. $11 < a _{1} \leq 19$, $11 < q - 31 \leq 19$ $42 < q \leq 50$이다. 따라서 모든 $q$의 값의 합은 $43 + 44 + \cdots + 50$$\displaystyle = \frac{8 \times \left( 43 + 50 \right)}{2}$$= 372$