합으로 주어진 수열

$a _{1} = 2$인 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$과 $b _{1} = 2$인 등차수열 $\left\{ b _{n} \right\}$에 대하여 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} \frac{a _{k}}{b _{k+1}} = \frac{1}{2} n ^{2}$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 이 성립하므로 등식의 양변에 $n = 1$을 대입하면 $\displaystyle \frac{a _{1}}{b _{2}} = \frac{1}{2}$, $\displaystyle \frac{2}{b _{2}} = \frac{1}{2}$, $b _{2} = 4$ 이때 등차수열 $\left\{ b _{n} \right\}$에서 $b _{2} - b _{1} = 2$이므로 $b _{n} = 2 + 2 \left( n - 1 \right) = 2 n$ 즉 $b _{k+1} = 2 \left( k + 1 \right)$이므로 ㉠에서 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} \frac{a _{k}}{2 \left( k + 1 \right)} = \frac{1}{2} n ^{2}$, $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} \frac{a _{k}}{k + 1} = n ^{2}$ $n \geq 2$인 자연수 $n$에 대하여 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} \frac{a _{k}}{k + 1} - \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} \frac{a _{k}}{k + 1}$$= n ^{2} - \left( n - 1 \right) ^{2}$$= 2 n - 1$ 즉 $a _{n} = \left( n + 1 \right) \left( 2 n - 1 \right)$ $\left( n \geq 2 \right)$이고 $a _{1} = 2$이므로 $a _{n} = \left( n + 1 \right) \left( 2 n - 1 \right) = 2 n ^{2} + n - 1$ $\therefore$ $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{5} a _{k}$$\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{5} \left( 2 k ^{2} + k - 1 \right)$ $\displaystyle = 2 \times \frac{5 \times 6 \times 11}{6} + \frac{5 \times 6}{2} - 5$ $= 120$