합으로 정의된 수열

[출제의도] 수열의 규칙을 발견하여 조건을 만족시키는 일반항을 구한다. 조건 (나)에서 $a _{2} = 8 + a _{1}$ $a _{3} = 8 + ( a _{1} + a _{2} )$$= 2 a _{2}$ $a _{4} = 8 + ( a _{1} + a _{2} + a _{3} ) = 2 a _{3} = 2 ^{2} a _{2}$ $\vdots$ $a _{10} = 2 ^{8} a _{2}$ 조건 (가)에 의해 $a _{10} = 2 ^{8} a _{2} \leq 5120$ $a _{2} = 8 + a _{1} \leq 20$ $a _{1} \leq 12$ 따라서 $a _{1}$의 최댓값은 $12$이다. [다른 풀이] $\displaystyle S _{n} = \sum\limits _{k = 1} ^{n} a _{k}$라 하면 조건 (나)에 의해 $a _{n} = 8 + S _{n-1}$ $( n \geq 2 )$ … ㉠ ㉠에 $n$대신 $n + 1$을 대입하면 $a _{n+1} = 8 + S _{n}$ … ㉡ ㉡$-$㉠을 하면 $a _{n+1} - a _{n} = S _{n} - S _{n-1}$ $= a _{n}$ $( n \geq 2 )$ $a _{n+1} = 2 a _{n}$ $( n \geq 2 )$ ∴ $a _{n} = a _{2} \cdot 2 ^{n-2}$ $( n \geq 2 )$ 조건 (가)에 의해 $a _{10} = 2 ^{8} a _{2} \leq 5120$ $a _{2} = 8 + a _{1} \leq 20$ $a _{1} \leq 12$ 따라서 $a _{1}$의 최댓값은 $12$이다.