대수수학적 귀납법수능 기출기본 문제 (3점 중반)

합으로 정의된 수열

문제

$a _{1} = 2$ , $a _{n} = a _{1} + a _{2} + \cdots + a _{n - 1}$ (단, $n \geq 2$ )로 정의된 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$ 에 대하여 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{11} a _{k}$ 의 값은? [3점] ① $2 ^{10}$ ② $2 ^{11}$ ③ $2 ^{12}$ ④ $2 ^{13}$ ⑤ $2 ^{14}$

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②

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[출제의도] 여러 가지 수열에 관한 문제 해결하기 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{11} a _{k} = a _{1} + a _{2} + \cdots + a _{11}$ $= a _{1} + a _{1} + ( a _{1} + a _{2} ) + ( a _{1} + a _{2} + a _{3} ) + \cdots$ $+ ( a _{1} + a _{2} + \cdots + a _{10} )$ $= 2 + 2 + 2 ^{2} + 2 ^{3} + \cdots + 2 ^{10}$ $\displaystyle = 2 + \frac{2 ( 2 ^{10} - 1 )}{2 - 1} = 2 ^{11}$

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