대수수열의 합수능 기출기본 문제 (3점 중반)

합으로 정의된 수열

문제

수열 $\left\{ a _{n} \right\}$ 이 $a _{n+1} = a _{1} + a _{2} + a _{3} + \cdots + a _{n}$ $( n \geq 1 )$ 을 만족시킨다. $a _{1} = 1$ 일 때, $a _{10}$ 의 값은? [3점] ① $55$ ② $89$ ③ $128$ ④ $256$ ⑤ $360$

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④

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해설

[출제의도] 여러 가지 수열의 항을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. $a _{n+1} = S _{n}$ 이므로 ……① $a _{n} = S _{n-1} ( n \geq 2 )$ 이고 …… ② ①, ②의 양변을 서로 빼면, $a _{n+1} - a _{n} = S _{n} - S _{n-1} ( n \geq 2 )$ $a _{n+1} - a _{n} = a _{n} ( n \geq 2 )$ $a _{n+1} = 2 a _{n} ( n \geq 2 )$ $a _{1} = 1 , a _{n} = 2 ^{n-2} ( n \geq 2 )$ 따라서 $a _{10} = 2 ^{8} = 256$

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