미적분Ⅱ급수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

합으로 정한 수열의 급수

문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}이 ∑k=1nakk=n2+3n\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} \frac{a _{k}}{k} = n ^{2} + 3 n을 만족시킬 때, ∑n=1∞1an\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \frac{1}{a _{n}}의 값은? [4점] ①13\displaystyle \frac{1}{3}②12\displaystyle \frac{1}{2}③23\displaystyle \frac{2}{3}④56\displaystyle \frac{5}{6}⑤11

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②

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해설

[출제의도] 급수의 성질 이해하기 a1=4a _{1} = 4, ann=∑k=1nakk−∑k=1n−1akk=2n+2(n≥2)\displaystyle \frac{a _{n}}{n} = \sum\limits _{k = 1} ^{n} \frac{a _{k}}{k} - \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} \frac{a _{k}}{k} = 2 n + 2 ( n \geq 2 ) 그러므로 an=2n2+2na _{n} = 2 n ^{2} + 2 n(n≥1)( n \geq 1 ) lim⁡n→∞∑k=1n1ak\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\sum\limits _{k = 1} ^{n} \frac{1}{a _{k}}}=lim⁡n→∞{12∑k=1n1k(k+1)}\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left\{ \frac{1}{2} \sum\limits _{k = 1} ^{n} \frac{1}{k ( k + 1 )} \right\}} =lim⁡n→∞{12(11−1n+1)}=12\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left\{ \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{n + 1} \right) \right\}} = \frac{1}{2} 따라서 ∑n=1∞1an=12\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \frac{1}{a _{n}} = \frac{1}{2}

태그

#급수#부분분수#수열의 합

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