합 조건의 등차수열

[출제의도] 등차수열의 합 문제 해결하기 등차수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 공차를 $d \left( d \ne 0 \right)$라 하면 (가)에 의하여 $\displaystyle \frac{5 \left( 2 a _{1} + 4 d \right)}{2} = 2 \left| \frac{10 \left( 2 a _{1} + 9 d \right)}{2} \right|$ $a _{1} + 2 d = 2 \left| 2 a _{1} + 9 d \right|$ (i) $a _{1} + 2 d = 4 a _{1} + 18 d$일 때, $\displaystyle a _{1} = - \frac{16}{3} d$ $\displaystyle a _{3} a _{6} = \left( - \frac{10}{3} d \right) \times \left( - \frac{d}{3} \right) = \frac{10}{9} d ^{2} > 0$이므로 (나)의 조건을 만족시킨다. (ii) $a _{1} + 2 d = - 4 a _{1} - 18 d$일 때, $a _{1} = - 4 d$ $a _{3} a _{6} = \left( - 2 d \right) \times d = - 2 d ^{2} < 0$이므로 (나)의 조건에 모순이다. 따라서 $\displaystyle \frac{a _{21}}{a _{1}} = \frac{- \frac{16}{3} d + 20 d}{- \frac{16}{3} d} = - \frac{11}{4}$