대수수열의 합수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

합 조건으로 일반항

문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}이 ∑k=1nk2ak=n2+n\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} k ^{2} a _{k} = n ^{2} + n을 만족시킬 때, ∑k=110akk+1\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{10} \frac{a _{k}}{k + 1}의 값은? [3점] ①1711\displaystyle \frac{17}{11}②1811\displaystyle \frac{18}{11}③1911\displaystyle \frac{19}{11}④2011\displaystyle \frac{20}{11}⑤2111\displaystyle \frac{21}{11}

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④

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해설

[출제의도] 수열의 합과 일반항의 관계 이해하기 ∑k=1nk2ak=n2+n\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} k ^{2} a _{k} = n ^{2} + n이므로 a1=2a _{1} = 2, n2an=(n2+n)−{(n−1)2+n−1}=2n(n≥2)n ^{2} a _{n} = \left( n ^{2} + n \right) - \left\{ ( n - 1 ) ^{2} + n - 1 \right\} = 2 n ( n \geq 2 ) 이므로 an=2n(n≥1)\displaystyle a _{n} = \frac{2}{n} \left( n \geq 1 \right) ∑k=110akk+1=∑k=1102k(k+1)=2011\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{10} \frac{a _{k}}{k + 1} = \sum\limits _{k = 1} ^{10} \frac{2}{k ( k + 1 )} = \frac{20}{11}

태그

#수열의 합#부분분수

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