대수수열의 합수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

합 조건 사차함수

문제

사차함수 f(x)f ( x )가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 55이하의 모든 자연수 nn에 대하여 ∑k=1nf(k)=f(n)f(n+1)\displaystyle \sum\limits _{k=1} ^{n} f ( k ) = f ( n ) f ( n + 1 )이다. (나) n=3,4n = 3 , 4일 때, f(x)f ( x )에서 xx의 값이 nn에서 n+2n + 2까지 변할 때의 평균변화율은 양수가 아니다.

128×f(52)\displaystyle 128 \times f \left( \frac{5}{2} \right)의 값을 구하시오. [4점]

정답 보기
65

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

조건 (가)에 의해 f(1)+⋯+f(n−1)+f(n)=f(n)f(n+1)⋯①f ( 1 ) + \cdots + f ( n - 1 ) + f ( n ) = f ( n ) f ( n + 1 ) \cdots \text{①} $f ( 1 ) + \cdots + f ( n - 1 ) = f ( n - 1 ) f ( n ) \cdots \text{ ②}$ $\text{ ①} - \text{ ②}$를 하면 f(n)=f(n){f(n+1)−f(n−1)}f ( n ) = f ( n ) \left\{ f ( n + 1 ) - f ( n - 1 ) \right\}이다. 따라서 f(n)=0f ( n ) = 0 또는 f(n+1)−f(n−1)=1f ( n + 1 ) - f ( n - 1 ) = 1⋯(∗)\cdots ( \ast )이어야 한다. 조건 (나)에 의해 n=3n = 3일 때 f(5)−f(3)5−3≤0\displaystyle \frac{f ( 5 ) - f ( 3 )}{5 - 3} \leq 0에서 f(5)≤f(3)f ( 5 ) \leq f ( 3 ) n=4n = 4일 때 f(6)−f(4)6−4≤0\displaystyle \frac{f ( 6 ) - f ( 4 )}{6 - 4} \leq 0에서 f(6)≤f(4)f ( 6 ) \leq f ( 4 ) 이므로 (∗)( \ast )에 의해 f(4)=0,f(5)=0f ( 4 ) = 0 , f ( 5 ) = 0이 된다. 조건 (가)에 n=1,2,3n = 1 , 2 , 3을 각각 대입하여 정리하면 n=1n = 1일 때 f(1)=f(1)f(2)f ( 1 ) = f ( 1 ) f ( 2 ) n=2n = 2일 때 f(1)+f(2)=f(2)f(3)f ( 1 ) + f ( 2 ) = f ( 2 ) f ( 3 ) n=3n = 3일 때 f(1)+f(2)+f(3)=0(∵f(4)=0)f ( 1 ) + f ( 2 ) + f ( 3 ) = 0 ( \because f ( 4 ) = 0 ) (ⅰ) f(3)=0f ( 3 ) = 0인 경우 f(1)+f(2)=0f ( 1 ) + f ( 2 ) = 0에서 f(1)=−{f(1)}2f ( 1 ) = \mathit{-} \left\{ f ( 1 ) \right\} ^{2}이므로 f(1)=0f ( 1 ) = 0 또는 f(1)=−1f ( 1 ) = \mathit{-} 1이다. f(1)=0f ( 1 ) = 0이면 f(2)=f(3)=f(4)=f(5)=0f ( 2 ) = f ( 3 ) = f ( 4 ) = f ( 5 ) = 0이 되어 사차함수라는 조건에 위배된다. 따라서 f(1)=−1,f(2)=1,f(3)=f(4)=f(5)=0f ( 1 ) = \mathit{-} 1 , f ( 2 ) = 1 , f ( 3 ) = f ( 4 ) = f ( 5 ) = 0 $\cdots \text{ ③}$ 이 성립한다. 그래프를 그려보면 사잇값 정리에 의해 (1,2)( 1 , 2 )에서 근을 갖고 f(6)−f(4)≤0f ( 6 ) - f ( 4 ) \leq 0을 만족한다.

(ⅱ) f(3)≠0f ( 3 ) \ne 0인 경우 f(1)+f(2)=−f(2){f(1)+f(2)}f ( 1 ) + f ( 2 ) = \mathit{-} f ( 2 ) \left\{ f ( 1 ) + f ( 2 ) \right\}에서 f(2)=−1f ( 2 ) = \mathit{-} 1이므로 f(1)=0f ( 1 ) = 0이 된다. 따라서 f(1)=0,f(2)=−1,f(3)=1,f(4)=f(5)=0f ( 1 ) = 0 , f ( 2 ) = \mathit{-} 1 , f ( 3 ) = 1 , f ( 4 ) = f ( 5 ) = 0이 성립한다. 그래프를 그려보면 f(6)−f(4)≤0f ( 6 ) - f ( 4 ) \leq 0을 만족하지 않는다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의해 f(x)=(ax+b)(x−3)(x−4)(x−5)f ( x ) = ( ax + b ) ( x - 3 ) ( x - 4 ) ( x - 5 )이 된다. ③을 대입하면 f(1)=−24(a+b)=−1,f(2)=−6(2a+b)=1f ( 1 ) = \mathit{-} 24 ( a + b ) = \mathit{-} 1 , f ( 2 ) = \mathit{-} 6 ( 2 a + b ) = 1에서 a=−524,b=624\displaystyle a = \mathit{-} \frac{5}{24} , b = \frac{6}{24}을 얻는다. ∴f(x)=−124(5x−6)(x−3)(x−4)(x−5)\displaystyle \therefore f ( x ) = \mathit{-} \frac{1}{24} ( 5 x - 6 ) ( x - 3 ) ( x - 4 ) ( x - 5 ) 128×f(52)=27×(−124)(−12)(−32)(−52)(252−6)=65\displaystyle 128 \times f \left( \frac{5}{2} \right) = 2 ^{7} \times \left( - \frac{1}{24} \right) \left( - \frac{1}{2} \right) \left( - \frac{3}{2} \right) \left( - \frac{5}{2} \right) \left( \frac{25}{2} - 6 \right) = 65

태그

#사차함수#시그마#평균변화율

비슷한 문제 더 보기

대수 문제 모음대수 수열의 합 문제 모음수능 문제 모음고난도 킬러 문제 모음
← 전체 문제 목록으로