합 점화식 수열

[출제의도] 귀납적으로 정의된 수열의 성질을 이용하여 문제를 해결한다. $\displaystyle a _{n + 1} = \sum\limits _{k = 1} ^{n} k a _{k}$에서 $n = 1$을 대입하면 $a _{2}$$\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{1} k a _{k}$$= a _{1}$이므로 $a _{2} = 2$ $n \geq 2$일 때 $\displaystyle a _{n} = \sum\limits _{k=1} ^{n-1} k a _{k}$이므로 $a _{n+1} - a _{n}$$\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{n} k a _{k} - \sum\limits _{k = 1} ^{n-1} k a _{k}$$= na _{n}$ 그러므로 $a _{n + 1} = \left( n + 1 \right) a _{n}$ (단, $n \geq 2$) 위 식에 $n = 50$을 대입하면 $a _{51}$$= 51 a _{50}$이고 $a _{50} > 0$이므로 $\displaystyle \frac{a _{51}}{a _{50}}$$= 51$ 따라서 $\displaystyle a _{2} + \frac{a _{51}}{a _{50}}$$= 2 + 51$$= 53$ [보충 설명] $2$ 이상의 자연수 $n$에 대하여 $a _{n} > 0$ $\cdots$$\cdots$ (*) 임을 수학적 귀납법을 이용하여 보일 수 있다. $a _{2} = 2$이고 $n \geq 2$일 때 $a _{n + 1} = \left( n + 1 \right) a _{n}$이므로 (ⅰ) $n = 2$일 때 $a _{2}$$= 2$$> 0$이므로 (*)이 성립한다. (ⅱ) $2$ 이상의 자연수 $k$에 대하여 $n = k$일 때 (*)이 성립한다고 가정하면 $a _{k} > 0$ $n = k + 1$일 때 $a _{k + 1} = \left( k + 1 \right) a _{k}$$> 0$이므로 $n = k + 1$일 때도 (*)이 성립한다. 따라서 (ⅰ), (ⅱ)에 의해 $2$ 이상의 자연수 $n$에 대하여 $a _{n} > 0$이다.