합 등식 귀납법 증명

수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 첫째항부터 제 $n$항까지의 합을 $S _{n}$이라 할 때, 다음은 등식 $\displaystyle nS _{n} - \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} S _{k} = \sum\limits _{k = 1} ^{n} k a _{k}$ $( n \geq 2 )$ $\cdots \cdots$ (★) 이 성립함을 증명한 것이다.

(2) $n = i$($i \geq 2$)일 때, (★)이 성립한다고 가정하면, $\displaystyle \begin{aligned} & ( i + 1 ) S _{i + 1} - \sum\limits _{k = 1} ^{i} S _{k} = ( i + 1 ) S _{i + 1} - \left( \sum\limits _{k = 1} ^{i - 1} S _{k} + S _{i} \right) \end{aligned}$ $= ( i + 1 ) S _{i + 1} -$$($ (나) $)$ $\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{i} k a _{k} +$ (다)

$\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{i + 1} k a _{k}$ 따라서, $n = i + 1$일 때, $\displaystyle ( i + 1 ) S _{i + 1} - \sum\limits _{k = 1} ^{i} S _{k} = \sum\limits _{k = 1} ^{i + 1} k a _{k}$가 성립한다. (1)과 (2)에 의하여 등식 (★)은 $2$이상의 모든 자연수 $n$에 대하여 성립한다.

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [4점] (가) (나) (다) ①$a _{1} + a _{2}$ $\displaystyle ( i - 1 ) S _{i} - \sum\limits _{k = 1} ^{i} k a _{k}$ $i ( S _{i} - S _{i - 1} )$②$a _{1} + a _{2}$ $\displaystyle ( i + 1 ) S _{i} - \sum\limits _{k = 1} ^{i} k a _{k}$ $i ( S _{i + 1} - S _{i} )$③$a _{1} + 2 a _{2}$ $\displaystyle ( i + 1 ) S _{i} - \sum\limits _{k = 1} ^{i} k a _{k}$ $i ( S _{i + 1} - S _{i} )$④$a _{1} + 2 a _{2}$ $\displaystyle ( i + 1 ) S _{i} - \sum\limits _{k = 1} ^{i} k a _{k}$ $( i + 1 ) ( S _{i + 1} - S _{i} )$⑤$a _{1} + 2 a _{2}$ $\displaystyle ( i - 1 ) S _{i} - \sum\limits _{k = 1} ^{i} k a _{k}$ $( i + 1 ) ( S _{i + 1} - S _{i} )$