항상 성립하는 로그부등식

[출제의도] 로그부등식을 활용하여 문제해결하기 $\displaystyle \left( \log _{2} \frac{x}{a} \right) \left( \log _{2} \frac{x ^{2}}{a} \right) + 2 \geq 0$에서 $\left( \log _{2} x - \log _{2} a \right) \left( 2 \log _{2} x - \log _{2} a \right) + 2 \geq 0$ $\left. \left. 2 \left( \log _{2} x \right) ^{2} - 3 \left( \log _{2} a \right) \left( \log _{2} x \right) + \left( \log _{2} a \right) ^{2} + 2 \geq 0 \right. \right.$ $\log _{2} x = t$라 하면 $2 t ^{2} - 3 \left( \log _{2} a \right) t + \left( \log _{2} a \right) ^{2} + 2 \geq 0$ 주어진 부등식이 모든 양의 실수 $x$에 대하여 성립하려면 위 부등식이 모든 실수 $t$에 대하여 성립하여야 하므로 판별식 $D = 9 \left( \log _{2} a \right) ^{2} - 8 \left\{ \left( \log _{2} a \right) ^{2} + 2 \right\} \leq 0$이다. $\left( \log _{2} a \right) ^{2} - 16 \leq 0$, $- 4 \leq \log _{2} a \leq 4$ $\displaystyle \frac{1}{16} \leq a \leq 16$이므로 $M = 16$, $\displaystyle m = \frac{1}{16}$이다. 따라서 $M + 16 m = 17$