항상 성립하는 지수부등식

[출제의도] 지수부등식 이해하기 주어진 지수부등식의 $3 ^{x} = t$ ($t > 0$)라 하면 (준식) =$t ^{2} - kt + k + 3 \geq 0$ $f ( t ) = t ^{2} - kt + k + 3$$\displaystyle = \left( t - \frac{k}{2} \right) ^{2} - \frac{k ^{2}}{4} + k + 3$ 이라 하면 (ⅰ) $k < 0$일 때, $f ( 0 ) \geq 0$이 성립해야 하므로 $k + 3 \geq 0$, $k \geq - 3$ ∴ $- 3 \leq k < 0$ (ⅱ) $k \geq 0$일 때, $f ( t )$의 최솟값 $\displaystyle - \frac{k ^{2}}{4} + k + 3 \geq 0$이 성립해야 하므로 $k ^{2} - 4 k - 12 \leq 0$, $- 2 \leq k \leq 6$ ∴ $0 \leq k \leq 6$ (ⅰ)과 (ⅱ)에 의해 $- 3 \leq k \leq 6$이고 따라서 만족하는 정수 $k$의 개수는 $10$이다.