항상 성립하는 지수부등식

[출제의도] 이차함수를 이용하여 지수부등식의 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다. $5 ^{x} = t$ ($t > 0$)라 하면 $t ^{2} - k t + 2 k + 5 \geq 0$ $t ^{2} + 5 \geq k ( t - 2 )$ $f ( t ) = t ^{2} + 5$, $g ( t ) = k ( t - 2 )$라 하면 $t > 0$인 모든 $t$에 대하여 $f ( t ) \geq g ( t )$이어야 한다.

(ⅰ) $y = g ( t )$의 그래프가 점 $( 0 , 5 )$를 지날 때, $5 = k ( 0 - 2 )$에서 $\displaystyle k = - \frac{5}{2}$ (ⅱ) 두 함수 $f ( t )$, $g ( t )$의 그래프가 접할 때, 방정식 $t ^{2} - k t + 2 k + 5 = 0$이 중근을 가지므로 판별식 $D = k ^{2} - 8 k - 20 = 0$에서 $( k - 10 ) ( k + 2 ) = 0$ ∴ $k = 10$ 또는 $k = - 2$ 이때, $k > 0$이므로 $k = 10$ (ⅰ), (ⅱ)에서 $\displaystyle - \frac{5}{2} \leq k \leq 10$ ∴ $\displaystyle | \alpha \beta | = \left| - \frac{5}{2} \times 10 \right| = 25$ [다른 풀이] 지수부등식 $5 ^{2x} - k \cdot 5 ^{x} + 2 k + 5 \geq 0$에서 $5 ^{x} = t$ ($t > 0$)로 놓으면 $t ^{2} - k t + 2 k + 5 \geq 0$ $f ( t ) = t ^{2} - k t + 2 k + 5$ $\displaystyle = \left( t - \frac{k}{2} \right) ^{2} - \frac{1}{4} k ^{2} + 2 k + 5$ ($t > 0$) 라 하면 꼭짓점의 $t$좌표는 $\displaystyle \frac{k}{2}$이다. (ⅰ) $\displaystyle \frac{k}{2} > 0$일 때, $\displaystyle - \frac{1}{4} k ^{2} + 2 k + 5 \geq 0$이어야 하므로 $k ^{2} - 8 k - 20 \leq 0$ ∴ $- 2 \leq k \leq 10$ 그런데, $k > 0$이므로 $0 < k \leq 10$ (ⅱ) $\displaystyle \frac{k}{2} \leq 0$일 때, $f ( 0 ) \geq 0$이어야 하므로 $2 k + 5 \geq 0$ $\displaystyle k \geq - \frac{5}{2}$ 그런데, $k \leq 0$이므로 $\displaystyle - \frac{5}{2} \leq k \leq 0$ (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 $\displaystyle - \frac{5}{2} \leq k \leq 10$ ∴ $\displaystyle | \alpha \beta | = \left| - \frac{5}{2} \times 10 \right| = 25$