항상 성립하는 이차부등식

[출제의도] 이차함수와 이차부등식의 관계 이해하기 이차함수 $y = x ^{2} + 6 x + a$의 그래프는 아래로 볼록이므로 모든 실수 $x$에 대하여 $y \geq 0$가 되려면 이차함수의 그래프가 $x$축에 접하거나 만나지 않아야 한다. 즉, $x ^{2} + 6 x + a = 0$의 판별식을 $D$라 하면 $D \leq 0$ 이다. $\displaystyle \frac{D}{4} = 9 - a \leq 0$이므로 $a \geq 9$ 이다. 따라서 실수 $a$의 최솟값은 $9$이다.