항상 성립하는 이차부등식

[출제의도] 이차함수와 이차부등식의 관계 이해하기 이차함수 $y = x ^{2} - 2 \left( k - 2 \right) x - k ^{2} + 5 k - 3$의 그래프는 아래로 볼록하므로 모든 실수 $x$에 대하여 $y \geq 0$가 되려면 이차함수의 그래프가 $x$축에 접하거나 만나지 않아야 한다. 즉, $x ^{2} - 2 \left( k - 2 \right) x - k ^{2} + 5 k - 3 = 0$의 판별식을 $D$라 하면 $D \leq 0$이다. $\displaystyle \frac{D}{4} = \left( k - 2 \right) ^{2} - \left( - k ^{2} + 5 k - 3 \right) \leq 0$이므로 $k ^{2} - 4 k + 4 + k ^{2} - 5 k + 3 \leq 0$이다. $2 k ^{2} - 9 k + 7 \leq 0$이고 $\left( k - 1 \right) \left( 2 k - 7 \right) \leq 0$이다. 즉, $\displaystyle 1 \leq k \leq \frac{7}{2}$ 따라서 범위 안의 정수 $k$의 값은 $1 , 2 , 3$이므로 $k$의 값의 합은 $6$이다. [다른풀이] $x ^{2} - 2 \left( k - 2 \right) x - k ^{2} + 5 k - 3$ $= x ^{2} - 2 \left( k - 2 \right) x + \left( k - 2 \right) ^{2} - \left( k - 2 \right) ^{2} - k ^{2} + 5 k - 3$ $= \left\{ x - \left( k - 2 \right) \right\} ^{2} - 2 k ^{2} + 9 k - 7 \geq 0$ 이 모든 실수 $x$에 대하여 성립하려면 $- 2 k ^{2} + 9 k - 7 \geq 0$이므로 $2 k ^{2} - 9 k + 7 \leq 0$이고 $\left( k - 1 \right) \left( 2 k - 7 \right) \leq 0$이다. 즉, $\displaystyle 1 \leq k \leq \frac{7}{2}$ 따라서 범위 안의 정수 $k$의 값은 $1 , 2 , 3$이므로 $k$의 값의 합은 $6$이다.