항상 성립하는 부등식

[출제의도] 절대부등식을 이해하여 미지수의 값의 범위를 구한다. 모든 실수 $x$에 대하여 부등식 $x ^{2} + 4 kx + 3 k ^{2} \geq 2 k - 3$이 참인 명제가 되려면 $f ( x )$$= x ^{2} + 4 kx + 3 k ^{2} - 2 k + 3$이라 할 때, 함수 $y = f ( x )$의 그래프가 $x$축에 접하거나 만나지 않아야 한다.

이차방정식 $x ^{2} + 4 kx + 3 k ^{2} - 2 k + 3 = 0$이 중근 또는 서로 다른 두 허근을 가져야 하므로 이차방정식 $x ^{2} + 4 kx + 3 k ^{2} - 2 k + 3 = 0$의 판별식을 $D$라 하면 $\displaystyle \frac{D}{4}$$= ( 2 k ) ^{2} - ( 3 k ^{2} - 2 k + 3 )$$= k ^{2} + 2 k - 3$ $= ( k + 3 ) ( k - 1 ) \leq 0$ $- 3 \leq k \leq 1$이므로 $k$의 최댓값 $M = 1$, 최솟값 $m = \mathit{-} 3$ 따라서 $M - m = 1 - ( - 3 ) = 4$