공통수학1나머지정리와 인수분해수능 기출기본 문제 (3점 중반)

항등식과 조립제법

문제

모든 실수 xx에 대하여 등식 x3−x2−5x+ax ^{3} - x ^{2} - 5 x + a=(x−2)(x2+x+b)= ( x - 2 ) ( x ^{2} + x + b ) 가 성립할 때, a+ba + b의 값을 구하시오. (단, aa, bb는 상수이다.) [3점]

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3

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해설

[출제의도] 항등식의 성질을 이용하여 계수의 값을 구한다. 주어진 등식은 xx에 대한 항등식이므로 양변에 x=2x = 2를 대입하면 8−4−10+a=08 - 4 - 10 + a = 0 따라서 a=6a = 6이므로 이를 주어진 등식에 대입하여 정리하면 x3−x2−5x+6=(x−2)(x2+x+b)x ^{3} - x ^{2} - 5 x + 6 = ( x - 2 ) ( x ^{2} + x + b ) =x3−x2+(b−2)x−2b= x ^{3} - x ^{2} + ( b - 2 ) x - 2 b 양변의 계수를 비교하면 b=−3b = \mathit{-} 3이므로 a+b=3a + b = 3이다. [다른풀이] 주어진 등식이 x3−x2−5x+ax ^{3} - x ^{2} - 5 x + a=(x−2)(x2+x+b)= ( x - 2 ) ( x ^{2} + x + b )이므로 x3−x2−5x+ax ^{3} - x ^{2} - 5 x + a를 x−2x - 2로 나누면 몫이 x2+x+bx ^{2} + x + b이고 나머지가 00이다. 조립제법을 이용하여 계산하면

2211−1- 1−5- 5aa
2222−6- 6
1111−3- 3a−6a - 6

따라서 몫은 x2+x−3x ^{2} + x - 3이고 나머지는 a−6a - 6에서 a=6a = 6, b=−3b = \mathit{-} 3이므로 a+b=3a + b = 3이다.

태그

#항등식#조립제법

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