항등식과 이차다항식

[출제의도] 곱셈공식을 이용하여 문제 해결하기 $P \left( x \right) + x$가 이차다항식이므로 $\left( x - a \right) \left( x + a \right) \left( x ^{2} + 5 \right) + 9$ 도 이차다항식의 완전제곱식이어야 한다. $\left( x - a \right) \left( x + a \right) \left( x ^{2} + 5 \right) + 9$ $= \left( x ^{2} - a ^{2} \right) \left( x ^{2} + 5 \right) + 9$ $= x ^{4} + \left( 5 - a ^{2} \right) x ^{2} - 5 a ^{2} + 9$ $\displaystyle = x ^{4} + \left( 5 - a ^{2} \right) x ^{2} + \frac{\left( 5 - a ^{2} \right) ^{2}}{4} - \frac{\left( 5 - a ^{2} \right) ^{2}}{4} - 5 a ^{2} + 9$ $\displaystyle = \left\{ x ^{4} + \left( 5 - a ^{2} \right) x ^{2} + \frac{\left( 5 - a ^{2} \right) ^{2}}{4} \right\} - \frac{\left( 5 - a ^{2} \right) ^{2} - 4 \left( - 5 a ^{2} + 9 \right)}{4}$ $\displaystyle = \left( x ^{2} + \frac{5 - a ^{2}}{2} \right) ^{2} - \frac{\left( 5 - a ^{2} \right) ^{2} - 4 \left( - 5 a ^{2} + 9 \right)}{4}$ 에서 $\left( 5 - a ^{2} \right) ^{2} - 4 \left( - 5 a ^{2} + 9 \right) = 0$ $a ^{4} + 10 a ^{2} - 11 = 0$ $\left( a ^{2} + 11 \right) \left( a ^{2} - 1 \right) = 0$ 이고 $a = 1$($\because a > 0$)이다. $\left\{ P \left( x \right) + x \right\} ^{2} = \left( x ^{2} + 2 \right) ^{2}$에서 $P \left( x \right) = x ^{2} - x + 2$ 또는 $P \left( x \right) = - x ^{2} - x - 2$ 이고 이차항의 계수가 음수이므로 $P \left( x \right) = - x ^{2} - x - 2$ 이다. 따라서 $\left\{ P ( a ) \right\} ^{2} = \left\{ P ( 1 ) \right\} ^{2} = 16$이다. [다른 풀이] $\left\{ P \left( x \right) + x \right\} ^{2} = \left( x ^{2} - a ^{2} \right) \left( x ^{2} + 5 \right) + 9$$= x ^{4} + \left( 5 - a ^{2} \right) x ^{2} - 5 a ^{2} + 9$ 이고 $P \left( x \right)$의 최고차항의 계수가 음수이므로 $P \left( x \right) + x = - x ^{2} + px + q$ 라 하자. $\left( - x ^{2} + px + q \right) ^{2} = x ^{4} - 2 px ^{3} + \left( p ^{2} - 2 q \right) x ^{2} + 2 pqx + q ^{2}$ $= x ^{4} + \left( 5 - a ^{2} \right) x ^{2} - 5 a ^{2} + 9$ 에서 $- 2 p = 0$ $p ^{2} - 2 q = 5 - a ^{2}$ $2 pq = 0$ $q ^{2} = - 5 a ^{2} + 9$ 이므로 $p = 0$이고 $a ^{2} = 2 q + 5$이다. $q ^{2} + 10 q + 16 = 0$ $\left( q + 8 \right) \left( q + 2 \right) = 0$ $q = - 8$ 또는 $q = - 2$ $q = - 8$이면 $a ^{2} = - 11 < 0$이므로 모순이다. 그러므로 $q = - 2$이다. $a ^{2} = 2 q + 5$에 $q = - 2$를 대입하면 $a$가 양수이므로 $a = 1$이다. 그러므로 $P \left( x \right) + x = - x ^{2} - 2$ 즉, $P \left( x \right) = - x ^{2} - x - 2$이다. 따라서 $\left\{ P \left( a \right) \right\} ^{2} = \left\{ P \left( 1 \right) \right\} ^{2} = 16$이다.