항등식과 다항식의 나눗셈

[출제의도] 항등식의 성질을 이해하여 값을 구한다. 등식 $x \left( x + 1 \right) \left( x + 2 \right)$$= \left( x + 1 \right) \left( x - 1 \right) P ( x ) + ax + b$ 의 양변에 $x = \mathit{-} 1$을 대입하면 $\left( - 1 \right) \times 0 \times 1 = 0 \times \left( - 2 \right) \times P ( - 1 ) + a \times \left( - 1 \right) + b$ $0 = \mathit{-} a + b$ $\cdots \cdots$ ㉠ 등식 $x \left( x + 1 \right) \left( x + 2 \right)$$= \left( x + 1 \right) \left( x - 1 \right) P ( x ) + ax + b$ 의 양변에 $x = 1$을 대입하면 $1 \times 2 \times 3 = 2 \times 0 \times P ( 1 ) + a \times 1 + b$ $6 = a + b$ $\cdots \cdots$ ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 $a = 3$, $b = 3$ 따라서 주어진 등식은 $x \left( x + 1 \right) \left( x + 2 \right)$$= \left( x + 1 \right) \left( x - 1 \right) P ( x ) + 3 x + 3$ $a - b = 0$이므로 위 등식의 양변에 $x = 0$을 대입하면 $0 \times 1 \times 2 = 1 \times \left( - 1 \right) \times P ( 0 ) + 3 \times 0 + 3$ $P ( 0 )$$= 3$ 따라서 $P ( a - b )$$= P ( 0 )$$= 3$ [다른 풀이] 등식 $x \left( x + 1 \right) \left( x + 2 \right)$$= \left( x + 1 \right) \left( x - 1 \right) P ( x ) + ax + b$ 의 좌변이 $x \left( x + 1 \right) \left( x + 2 \right)$$= \left( x ^{2} + x \right) \left( x + 2 \right)$$= x ^{3} + 3 x ^{2} + 2 x$ 이므로 다항식 $x ^{3} + 3 x ^{2} + 2 x$를 $x ^{2} - 1$로 나눈 몫이 다항식 $P ( x )$이고 나머지가 $ax + b$이다.

즉 $P ( x )$$= x + 3$이고, $a = 3$, $b = 3$이다. 이때 $a - b = 0$이므로 $x = 0$을 대입하면 $P ( 0 )$$= 0 + 3$$= 3$ 따라서 $P ( a - b )$$= P ( 0 )$$= 3$