공통수학1나머지정리와 인수분해수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

항등식과 다항식

문제

다항식 $P ( x )$ 와 상수 $a$ 에 대하여 등식 $x ^{3} - x ^{2} + 3 x - 2 = \left( x + 2 \right) P ( x ) + ax$ 가 $x$ 에 대한 항등식일 때, $P ( - 2 )$ 의 값은? [4점] ① $9$ ② $10$ ③ $11$ ④ $12$ ⑤ $13$

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①

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해설

[출제의도] 항등식의 성질과 인수정리를 이해하여 식의 값을 구한다. 주어진 항등식의 양변에 $x = \mathit{-} 2$ 를 대입하면 $- 8 - 4 - 6 - 2$ $= 0 - 2 a$ $a = 10$ $x ^{3} - x ^{2} + 3 x - 2$ $= ( x + 2 ) P ( x ) + 10 x$ 에서 $( x + 2 ) P ( x )$ $= x ^{3} - x ^{2} - 7 x - 2$ $Q ( x )$ $= x ^{3} - x ^{2} - 7 x - 2$ 라 하면 $Q ( - 2 ) = 0$ 이므로 $Q ( x )$ 는 $x + 2$ 를 인수로 갖는다. 이때 조립제법을 이용하여 $Q ( x )$ 를 인수분해하면

$- 2$	$1$	$- 1$	$- 7$	$- 2$
		$- 2$	$6$	$2$
	$1$	$- 3$	$- 1$	$0$

$Q ( x )$ $= x ^{3} - x ^{2} - 7 x - 2$ $= ( x + 2 ) ( x ^{2} - 3 x - 1 )$ $( x + 2 ) P ( x )$ $= ( x + 2 ) ( x ^{2} - 3 x - 1 )$ 이 등식이 $x$ 에 대한 항등식이고 $P ( x )$ 가 다항식이므로 $P ( x ) = x ^{2} - 3 x - 1$ 따라서 $P ( - 2 )$ $= 4 + 6 - 1$ $= 9$

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