항등식 계수

[출제의도] 다항식에서 항의 계수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. $( x + 1 ) ^{2} = x ^{2} + 2 x + 1$이므로 $( x + 1 ) ^{4}$$= \left\{ ( x + 1 ) ^{2} \right\} ^{2}$$= ( x ^{2} + 2 x + 1 ) ^{2}$$= ( x ^{2} ) ^{2} + ( 2 x ) ^{2} + 1 ^{2} + 2 ( x ^{2} \cdot 2 x + 2 x \cdot 1 + 1 \cdot x ^{2} )$ $= x ^{4} + 4 x ^{2} + 1 + 4 x ^{3} + 4 x + 2 x ^{2}$$= x ^{4} + 4 x ^{3} + 6 x ^{2} + 4 x + 1 \cdots \text{㉠}$ ㉠과 $x ^{4} + ax ^{3} + bx ^{2} + 4 x + 1$의 계수를 비교하면 $a = 4$, $b = 6$이다. 따라서 $a + b = 10$ [다른 풀이] 모든 실수 $x$에 대하여 주어진 등식이 성립하므로 $x = 1$을 대입하면 $2 ^{4} = 1 + a + b + 4 + 1$이다. 따라서 $a + b = 10$