공통수학1나머지정리와 인수분해수능 기출아주 기초 (2점~3점 초반)

항등식 계수

문제

등식 $2 x ^{2} - x + 9 = 2 ( x - 1 ) ^{2} + a ( x - 1 ) + b$ 가 $x$ 에 대한 항등식이 되도록 하는 상수 $a , b$ 에 대하여 $b - a$ 의 값은? [2점] ① $- 1$ ② $1$ ③ $3$ ④ $5$ ⑤ $7$

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⑤

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해설

[출제의도] 항등식의 성질을 이용하여 미정계수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. $2 x ^{2} - x + 9 = 2 ( x - 1 ) ^{2} + a ( x - 1 ) + b$ $= 2 ( x ^{2} - 2 x + 1 ) + a x - a + b$ $= 2 x ^{2} + ( - 4 + a ) x + 2 - a + b$ 이 등식이 $x$ 에 대한 항등식이므로 각 항의 계수를 비교하면 $- 4 + a = - 1$ , $2 - a + b = 9$ 두 식을 연립하여 풀면 ∴ $a = 3$ , $b = 10$ 따라서 $b - a = 7$ 이다. [별해1] 등식 $2 x ^{2} - x + 9 = 2 ( x - 1 ) ^{2} + a ( x - 1 ) + b$ 에 $x = 0$ 을 대입하면, $9 = 2 - a + b$ ∴ $b - a = 7$ [별해2] 조립제법을 이용하면

$1$	$2$	$- 1$	$9$
		$2$	$1$
$1$	$2$	$1$	$10$	$= b$
		$2$
	$2$	$3$	$= a$

∴ $a = 3$ , $b = 10$ 따라서 $b - a = 7$ 이다.

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