항등식 계수

[출제의도] 항등식의 성질을 이용하여 미정계수를 구한다. $3 x ^{2} + x - 2 = a ( x - 1 ) ^{2} + b ( x - 1 ) + c$ 모든 실수 $x$에 대하여 성립하므로 $x = 1$, $x = 0$, $x = 2$를 각각 대입하면 $3 + 1 - 2 = c$ …… ㉠ $- 2 = a - b + c$ …… ㉡ $12 + 2 - 2 = a + b + c$ …… ㉢ ㉠, ㉡, ㉢에서 $a = 3$, $b = 7$, $c = 2$ ∴ $abc = 42$ [다른 풀이] $3 x ^{2} + x - 2 = a ( x - 1 ) ^{2} + b ( x - 1 ) + c$ $= ax ^{2} + ( - 2 a + b ) x + ( a - b + c )$ 양변의 각 항의 계수를 비교하면 $a = 3$, $1 = - 2 a + b$, $- 2 = a - b + c$ $a = 3$, $b = 7$, $c = 2$ ∴ $abc = 42$ [다른 풀이] 조립제법을 이용하여 주어진 이차식을 $x - 1$로 나눈 나머지를 반복하여 구하면

에서 $3 x ^{2} + x - 2$$= ( x - 1 ) ( 3 x + 4 ) + 2$ $= ( x - 1 ) \left\{ 3 ( x - 1 ) + 7 \right\} + 2$ $= 3 ( x - 1 ) ^{2} + 7 ( x - 1 ) + 2$ $a = 3$, $b = 7$, $c = 2$ ∴ $abc = 42$