항등식

[출제의도] 항등식의 성질을 이해한다. 다항식 $x ^{3} - 1$을 인수분해하면 $x ^{3} - 1$$= ( x - 1 ) ( x ^{2} + x + 1 )$이므로 $a = 1$, $b = 1$ 따라서 $a + b = 2$ [다른 풀이 1] $x ^{3} - 1$$= ( x - 1 ) ( x ^{2} + ax + b )$$= x ^{3} + ( a - 1 ) x ^{2} + ( b - a ) x - b$ 이므로 양변의 계수를 비교하면 $a - 1 = 0$, $b - a = 0$, $- b = \mathit{-} 1$ $a = 1$, $b = 1$ 따라서 $a + b = 2$ [다른 풀이 2] 모든 실수 $x$에 대하여 등식 $x ^{3} - 1$$= ( x - 1 ) ( x ^{2} + ax + b )$ …… ㉠ 이 성립하므로 ㉠의 양변에 적당한 $x$의 값을 대입하여도 등식이 성립한다. 등식 ㉠에 $x = 0$을 대입하면 $- 1 = \mathit{-} b$에서 $b = 1$ 등식 ㉠에 $x = \mathit{-} 1$을 대입하면 $\mathit{-} 2 = \mathit{-} 2 ( 2 - a )$에서 $a = 1$ 따라서 $a + b = 2$