공통수학2원의 방정식수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

항등부등식 점의 자취

문제

모든 실수 xx가 부등식 (x+1)a2+(x−1)b2≤4x( x + 1 ) a ^{2} + ( x - 1 ) b ^{2} \leq 4 x 를 만족시킬 때, 좌표평면에서 점 (a,b)( a , b )가 나타내는 도형 전체의 길이는? [4점] ①23π\displaystyle \frac{2}{3} \pi②π\pi③43π\displaystyle \frac{4}{3} \pi④53π\displaystyle \frac{5}{3} \pi⑤2π2 \pi

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⑤

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해설

[출제의도] 절대부등식의 성질 이해하기 모든 실수 xx에 대하여 (a2+b2−4)x+(a2−b2)≤0( a ^{2} + b ^{2} - 4 ) x + ( a ^{2} - b ^{2} ) \leq 0이므로 a2+b2=4a ^{2} + b ^{2} = 4이고 a2−b2≤0a ^{2} - b ^{2} \leq 0이다.

a2+b2=4a ^{2} + b ^{2} = 4 b=−ab = - a

따라서 구하는 도형 전체의 길이는 2π2 \pi

태그

#항등식#원

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