미적분Ⅰ정적분의 활용수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

함수와 역함수의 정적분 합

문제

함수 f(x)=x3+2x−2f ( x ) = x ^{3} + 2 x - 2의 역함수를 g(x)g ( x )라 하자. ∫12f(x)dx+∫110g(x)dx\displaystyle \int _{1} ^{2} f ( x ) dx + \int _{1} ^{10} g ( x ) dx를 구하면? ①1717②1919③2121④2323⑤2525

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②

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해설

f′(x)=3x2+2>0f' ( x ) = 3 x ^{2} + 2 > 0, f′′(x)=6xf'' ( x ) = 6 x 따라서, 함수 f(x)f ( x )는 변곡점이 (0,−2)( 0 , - 2 )인 단조증가 함수이다. 역함수는 y=xy = x대하여 대칭인 함수이므로 g(x)g ( x )는 그림과 같다. ∫110g(x)dx=∫110g(y)dy\displaystyle \int _{1} ^{10} g ( x ) dx = \int _{1} ^{10} g ( y ) dy=∫110xdy\displaystyle = \int _{1} ^{10} x dy 이므로 빗금 친 면적은 X\mathrm{X}로 빗금 친 면적과 같다. 그러므로 ∫12f(x)dx+∫110g(x)dx\displaystyle \int _{1} ^{2} f ( x ) dx + \int _{1} ^{10} g ( x ) dx=2⋅10−1=19= 2 \cdot 10 - 1 = 19

태그

#역함수#정적분#그래프의 대칭

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