함수와 역함수 교점

[출제의도] 함수의 그래프와 그 역함수의 그래프 관계 이해하기 함수 $g ( x )$가 함수 $f ( x )$의 역함수이고 두 함수 $y = f ( x ) , y = g ( x )$의 그래프가 서로 다른 두 점에서 만나므로 함수 $y = f ( x )$의 그래프와 직선 $y = x$가 서로 다른 두 점에서 만난다. $f ( x ) = x ^{2} - 2 kx + k ^{2} + 1 = \left( x - k \right) ^{2} + 1$이므로 함수 $y = f ( x )$의 그래프는 항상 점 $( k , 1 )$을 지난다. 다음 그림에서①과 같이 접할 때의 $k$값을 $a$, ②일 때의 $k$값을 $b$라 하면 $a < k \leq b$일 때 두 그래프는 서로 다른 두 점에서 만나므로 $k$의 최댓값은 $b$이다. ②일 때 함수 $y = f ( x )$의 그래프가 점 $( 1 , 1 )$을 지나므로 $1 - 2 b + b ^{2} + 1 = 1$ $b = 1$ 따라서 $k$의 최댓값은 $1$