미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출기본 문제 (3점 중반)

함숫값 차의 최대

문제

미분가능한 두 함수 $f ( x )$ 와 $g ( x )$ 의 그래프는 $x = a$ 와 $x = b$ 에서 만나고, $a < c < b$ 인 $x = c$ 에서 두 함숫값의 차가 최대가 된다. 다음 중 항상 옳은 것은? [3점] ① $f' ( c ) = - g' ( c )$ ② $f' ( c ) = g' ( c )$ ③ $f' ( a ) = g' ( b )$ ④ $f' ( b ) = g' ( b )$ ⑤ $f' ( a ) = g' ( a )$

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②

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해설

함수 $h ( x ) = f ( x ) - g ( x )$ 라 하면 방정식 $h ( x ) = 0$ 의 두 근은 $a , b$ 이다. $\therefore$ $h ( a ) = h ( b ) = 0$ 또한, 미분가능한 함수는 주어진 구간의 양 끝값과 극값 중에서 최대값을 갖는다. 따라서, 구간 $( a , b )$ 에서 미분가능하고 $h ( a ) = h ( b ) = 0$ 인 함수 $h ( x )$ 의 최대값은 극값에서 존재해야하므로 $h' ( c ) = 0$ $\therefore$ $h' ( c ) = f' ( c ) - g' ( c ) = 0$ $\therefore$ $f' ( c ) = g' ( c )$

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