함수로 정의한 행렬

[출제의도] 함수에 의해 정의된 행렬의 연산을 할 수 있는가를 묻는 문제이다. $f _{1} ( 1 ) = 1 , f _{1} ( 2 ) = 1$이므로 $\displaystyle A _{1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ $f _{2} ( 1 ) = 2 , f _{2} ( 2 ) = 2$이므로 $\displaystyle A _{2} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ $f _{3} ( 1 ) = 1 , f _{3} ( 2 ) = 2$이므로 $\displaystyle A _{3} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ $f _{4} ( 1 ) = 2 , f _{4} ( 2 ) = 1$이므로 $\displaystyle A _{4} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ ㄱ. $\displaystyle A _{1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ ∴ 참 ㄴ. $\displaystyle A _{2} A _{3} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \ne A _{4}$ ∴ 거짓 ㄷ. $\displaystyle A _{2} ^{2} = A _{2} A _{2} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = A _{2}$ $A _{2} ^{3} = A _{2} ^{2} A _{2} = A _{2} A _{2} = A _{2} ^{2} = A _{2}$ 이와 같은 방법으로 $A _{2} ^{10} = A _{2}$ ∴ 참