함수방정식과 연속

[출제의도] 연속의 정의를 이용하여 함숫값 구하기 $f ( x ) = a _{n} x ^{n} + a _{n-1} x ^{n-1} + \cdots + a _{1} x + a _{0}$ 라 하면 $f ( 3 x ) = 3 ^{n} a _{n} x ^{n} + \cdots + 3 a _{1} x + a _{0}$ $9 f ( x ) = 9 a _{n} x ^{n} + \cdots + 9 a _{1} x + 9 a _{0}$ $f ( 3 x ) - 9 f ( x ) = ( 3 ^{n} - 9 ) a _{n} x ^{n} + \cdots + ( 3 ^{0} - 9 ) a _{0} = 0$ 이 항등식이므로 $a _{2}$ 를 제외한 모든 $a _{i} ( 0 \leq i \leq n )$은 $0$ 이다. 따라서 $f ( x ) = a _{2} x ^{2} ( a _{2}$ 는 상수)꼴이다. $x = 1$ 에서 $g ( x )$ 는 연속이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x\rightarrow 1} \frac{a _{2} x ^{2} - 1}{x - 1} = 2 a _{2}$ $\therefore a _{2} = 1$$\therefore g ( x ) = x + 1$ 이므로 $g ( 12 ) = 13$ 