함수방정식과 리만합의 극한

$f ( xy ) = f ( x ) f ( y ) - x - y$에 $x = y = 1$ 대입하여 정리하면 $f ( 1 ) > 0$이므로 $f ( 1 ) = 2$이며, $y = 1$을 대입하면, $f ( x ) = x + 1$이다. $\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \sum\limits _{k=1} ^{n} \left\{ \frac{6}{\sqrt{n}} f \left( 2 + \frac{4 k}{n} \right) \right\} ^{2}$의 계산을 위해 $\displaystyle x = 2 + \frac{4 k}{n}$이라 하면, $\displaystyle dx = \frac{4}{n}$이며 따라서 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \sum\limits _{k = 1} ^{n} \left\{ \frac{6}{\sqrt{n}} f \left( 2 + \frac{4 k}{n} \right) \right\} ^{2} = 9 \int _{2} ^{6} {( f ( x ) ) ^{2} dx = 9 \int _{2} ^{6} {x ^{2} + 2 x + 1 dx}}$ $= 948$