함수방정식과 정적분

[출제의도] 조건을 만족시키는 함수 $f \left( x \right)$에 대하여 정적분의 값을 구할 수 있는가? $f ( x + 1 ) - x f ( x ) = ax + b$에 $x = 0$을 대입하면 $f ( 1 ) = b$ 닫힌구간 $\left[ 0 , 1 \right]$에서 $f ( x ) = x$이므로 $b = 1$ 또, $f ( x + 1 ) = x f ( x ) + ax + 1$이므로 $0 \leq x \leq 1$에서 $f ( x + 1 )$$= x f \left( x \right) + ax + 1$$= x ^{2} + ax + 1$ $x + 1$$= t$로 치환하면 $f ( t )$$= ( t - 1 ) ^{2} + a ( t - 1 ) + 1$ $= t ^{2} + ( a - 2 ) t + 2 - a$ $\cdots \cdots$ ㉠ $f' \left( t \right)$$= \mathit{2} t + \left( a - 2 \right)$이고, 닫힌구간 $\left[ 0 , 1 \right]$에서 $f \left( x \right)$$= x$이고, 함수 $f \left( x \right)$가 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수이므로 $f' \left( 1 \right)$$= 1$이므로 $a = 1$ 따라서 ㉠에서 $1 \leq x \leq 2$일 때 $f \left( x \right)$$= x ^{2} - x + 1$이다. $\displaystyle \int _{1} ^{2} f ( x ) dx$$\displaystyle = \int _{1} ^{2} ( x ^{2} - x + 1 ) dx$ $\displaystyle = \left[ \frac{1}{3} x ^{3} - \frac{1}{2} x ^{2} + x \right] _{1} ^{2}$ $=$$\displaystyle \frac{8}{3} - \frac{5}{6}$ $=$$\displaystyle \frac{11}{6}$ 즉, $\displaystyle 60 \times \int _{1} ^{2} f ( x ) dx$$\displaystyle = 60 \times \frac{11}{6}$ $= 110$