대수수학적 귀납법수능 기출기본 문제 (3점 중반)

함수방정식과 점화식

문제

자연수 전체의 집합 NN 을 정의역으로 하는 함수 f(x)f ( x )가 다음 두 조건을 만족한다.

Ⅰ. f(1)=2f ( 1 ) = 2 Ⅱ. x∈Nx \in N, y∈Ny \in N에 대하여 f(x+y)=f(x)f(y)f ( x + y ) = f ( x ) f ( y )가 성립한다.

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}이 a1=1a _{1} = 1, an+1=an+f(n)a _{n + 1} = {a _{n}} + f ( n ) (n=1,2,3,⋯n = 1 , 2 , 3 , \cdots) 을 만족할 때, a10a _{10}의 값은? [3점] ①127127②255255③511511④723723⑤10231023

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⑤

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해설

[출제의도] 수열의 귀납적 정의를 이해하여 일반항 구하기 f(1)=2,f ( 1 ) = 2 , f(2)=f(1+1)=f(1)f(1)=22f ( 2 ) = f ( 1 + 1 ) = f ( 1 ) f ( 1 ) = 2 ^{2}, f(3)=f(1+2)=f(1)f(2)=23f ( 3 ) = f ( 1 + 2 ) = f ( 1 ) f ( 2 ) = 2 ^{3}, ⋯\cdots f(n)=2nf ( n ) = 2 ^{n} a10=a1+∑k=19f(k)=1+2(29−1)2−1=1023\displaystyle a _{10} = a _{1} + \sum\limits _{k = 1} ^{9} f ( k ) = 1 + \frac{2 ( 2 ^{9} - 1 )}{2 - 1} = 1023

태그

#수열의 귀납적 정의#등비수열의 합

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