대수등차수열과 등비수열수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

함수방정식과 계차수열의 합

문제

함수 y=f(x)y = f ( x )의 정의역 DD는 D={n2∣n=0,1,2,⋯ }\displaystyle D = \left\{ \frac{n}{2} | n = 0 , 1 , 2 , \cdots \right\}이고, DD에 속하고 12\displaystyle \frac{1}{2}보다 큰 모든 xx에 대하여 f(x)−f(x−1)=2x−1f ( x ) - f ( x - 1 ) = 2 x - 1 을 만족한다. f(0)=−1,f(12)=0\displaystyle f ( 0 ) = - 1 , f \left( \frac{1}{2} \right) = 0일 때, ∑n=010{f(n+12)−f(n)}\displaystyle \sum\limits _{{n} = 0} ^{10} \left\{ f \left( n + \frac{1}{2} \right) - f ( n ) \right\} 의 값은?

①5050②5454③5858④6262⑤6666

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⑤

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해설

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}을 a1=f(12),a2=f(32),⋯ ,an=f(2n−12)\displaystyle a _{1} = f \left( \frac{1}{2} \right) , a _{2} = f \left( \frac{3}{2} \right) , \cdots , a _{n} = f \left( \frac{2 n - 1}{2} \right)라 하면, 주어진 함수 방정식 f(x)−f(x−1)=2x−1f ( x ) - f ( x - 1 ) = 2 x - 1으로부터 x=32\displaystyle x = \frac{3}{2}일 때 : a2−a1=f(32)−f(12)=2⋅32−1=2\displaystyle a _{2} - a _{1} = f \left( \frac{3}{2} \right) - f \left( \frac{1}{2} \right) = 2 \cdot \frac{3}{2} - 1 = 2 x=52\displaystyle x = \frac{5}{2}일 때 : a3−a2=f(52)−f(32)=2⋅52−1=4\displaystyle a _{3} - a _{2} = f \left( \frac{5}{2} \right) - f \left( \frac{3}{2} \right) = 2 \cdot \frac{5}{2} - 1 = 4 ⋮\vdots x=2n−12\displaystyle x = \frac{2 n - 1}{2}일 때 : an+1−an=f(2n+12)−f(2n−12)=2⋅2n+12−1=2n\displaystyle a _{n+1} - a _{n} = f \left( \frac{2 n + 1}{2} \right) - f \left( \frac{2 n - 1}{2} \right) = 2 \cdot \frac{2 n + 1}{2} - 1 = 2 n 따라서, 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}은 계차수열이 공차가 22인 등차수열이다. an=a1+∑k=1n−12k=n2−n\displaystyle a _{n} = a _{1} + \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} {2 k} = n ^{2} - n 수열 {bn}\left\{ b _{n} \right\}을 b1=f(0),b2=f(1),⋯ ,bn=f(n−1)b _{1} = f ( 0 ) , b _{2} = f ( 1 ) , \cdots , b _{n} = f ( n - 1 )라 하면, 주어진 함수 방정식 f(x)−f(x−1)=2x−1f ( x ) - f ( x - 1 ) = 2 x - 1으로부터 x=1x = 1일 때 : b2−b1=f(1)−f(0)=2⋅1−1=1b _{2} - b _{1} = f \left( 1 \right) - f \left( 0 \right) = 2 \cdot 1 - 1 = 1 x=2x = 2일 때 : b3−b2=f(2)−f(1)=2⋅2−1=3b _{3} - b _{2} = f \left( 2 \right) - f \left( 1 \right) = 2 \cdot 2 - 1 = 3 ⋮\vdots x=nx = n일 때 : bn+1−bn=f(n)−f(n−1)=2⋅n−1=2n−1b _{n+1} - b _{n} = f \left( n \right) - f \left( n - 1 \right) = 2 \cdot n - 1 = 2 n - 1 따라서, bn=b1+∑k=1n−1(2k−1)=−1+∑k=1n−1(2k−1)=n2−2n\displaystyle b _{n} = b _{1} + \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} ( 2 k - 1 ) = - 1 + \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} ( 2 k - 1 ) = n ^{2} - 2 n 따라서, ∑n=010{f(n+12)−f(n)}=∑n=010f(n+12)−∑n=010f(n)\displaystyle \sum\limits _{n = 0} ^{10} {\left\{ f \left( n + \frac{1}{2} \right) - f ( n ) \right\}} = \sum\limits _{n = 0} ^{10} {f \left( n + \frac{1}{2} \right)} - \sum\limits _{n = 0} ^{10} {f ( n )} ={f(12)+f(32)+⋯+f(212)}−{f(0)+f(1)+⋯+f(10)}\displaystyle = \left\{ f \left( \frac{1}{2} \right) + f \left( \frac{3}{2} \right) + \cdots + f \left( \frac{21}{2} \right) \right\} - \left\{ f ( 0 ) + f ( 1 ) + \cdots + f ( 10 ) \right\} =∑k=111(k2−k)−∑k=111(k2−2k)\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{11} {( k ^{2} - k )} - \sum\limits _{k = 1} ^{11} {( k ^{2} - 2 k )} =∑k=111k=12⋅11⋅12=66\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{11} {k} = \frac{1}{2} \cdot 11 \cdot 12 = 66

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#함수방정식#계차수열

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