함수방정식과 기함수

[출제의도] 미분계수의 정의를 이용하여 함수 추론하기 $f ( xy ) = xf ( y ) + yf ( x )$의 양변을 $xy$로 나누면 $\displaystyle \frac{f ( xy )}{xy} = \frac{f ( x )}{x} + \frac{f ( y )}{y}$이다. $\displaystyle p ( x ) = \frac{f ( x )}{x}$라 두면, $p ( xy ) = p ( x ) + p ( y )$ $x = 1 , y = 1$을 대입하면 $p ( 1 ) = 0$ $\displaystyle p' ( x ) = \lim\limits _{h \rightarrow 0} {} \frac{p ( x + h ) - p ( x )}{h}$ $\displaystyle = \lim\limits _{h \rightarrow 0} {} \frac{p \left( x \left( 1 + \frac{h}{x} \right) \right) - p ( x )}{h}$ $\displaystyle = \lim\limits _{h \rightarrow 0} {} \frac{p ( x ) + p \left( 1 + \frac{h}{x} \right) - p ( x )}{h}$ $\displaystyle = \lim\limits _{h \rightarrow 0} {} \frac{p \left( 1 + \frac{h}{x} \right) - p ( 1 )}{h}$ $\displaystyle = p' ( 1 ) \times \frac{1}{x}$ $x > 0$에서 $\displaystyle p' ( x ) = \frac{xf' ( x ) - f ( x )}{x ^{2}}$이고 $f ( 1 ) = 0$이므로 $p' ( 1 ) = f' ( 1 ) - f ( 1 ) = f' ( 1 ) = 1$ $p ( 1 ) = 0$이고, $\displaystyle p' ( x ) = \frac{1}{x}$이므로 $p ( x ) = \ln x$ $f ( x ) = x \ln x ( x > 0 )$ $g ( x ) + g ( - x ) = 0$이므로 $g ( x )$는 원점에 대하여 대칭이고 $x = 0$을 대입하면 $g ( 0 ) = 0$ $\displaystyle \lim\limits _{h \rightarrow 0 +} {} \frac{g ( 0 + h ) - g ( 0 )}{h} = \lim\limits _{h \rightarrow 0 +} {} \frac{h \ln h}{h} = - \infty$ 발산하므로 $x = 0$에서 미분가능하지 않다. $x > 0$에서 $g ( x ) = f ( x )$이므로 $x > 0$인 모든 실수에 대하여 미분가능하고 원점에 대하여 대칭이므로 $x < 0$인 모든 실수에 대하여 미분가능하다. 따라서 미분가능하지 않은 점의 개수가 1개이므로 $a = 1$ $g ( x ) = x + k$의 서로 다른 실근의 개수는 $g ( x ) - x = k$의 서로 다른 실근의 개수와 같다. 함수 $h ( x ) = g ( x ) - x$라 두면 $\displaystyle h ( x ) = {\begin{cases} \begin{aligned} x \ln x - x \\ \\ 0 \\ \end{aligned} & \begin{aligned} ( x > 0 ) \\ \\ ( x = 0 ) \\ \end{aligned} \\ x \ln ( - x ) - x & ( x < 0 ) \end{cases}}$ , $\displaystyle h' ( x ) = {\begin{cases} \ln x & ( x > 0 ) \\ \ln ( - x ) & ( x < 0 ) \end{cases}}$ 이므로 $h ( x )$의 증가와 감소를 표로 나타내면

극댓값 $h ( - 1 ) = 1$이고, 극솟값 $h ( 1 ) = - 1$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {} f ( x ) = \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {} x \ln x = 0$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} {} h ( x ) = 0$이다

$y = k$와 $y = h ( x )$의 그래프가 서로 다른 두 교점을 갖는 $k$의 값은 1 또는 –1이다. 따라서 구하는 값은 –1