함수방정식 f, g와 f(7)+g(7)의 최댓값

$f ( x + g ( y ) ) = ( x + y ^{2} - 1 ) ^{2} - 1$ ⋯⋯ ㉠ ㉠의 양변에 $x = 0$을 대입하면 $f ( g ( y ) ) = ( y ^{2} - 1 ) ^{2} - 1$ ⋯⋯ ㉡ ㉠의 양변에 $y = 0$을 대입하면 $f ( x + g ( 0 ) ) = ( x - 1 ) ^{2} - 1$ 위 식의 $x$대신 $x - g ( 0 )$을 대입하면 $f ( x )$$= \left\{ x - g ( 0 ) - 1 \right\} ^{2} - 1$ $f ( 0 ) = 3$이므로 위 식에 $x = 0$을 대입하면 $f ( 0 )$$= \left\{ - g ( 0 ) - 1 \right\} ^{2} - 1 = 3$ ∴ $g ( 0 ) = 1$ 또는 $g ( 0 ) = - 3$ ⅰ) $g ( 0 ) = 1$일 때, $f ( x ) = ( x - 2 ) ^{2} - 1$이므로 $f ( g ( y ) )$$= \left\{ g ( y ) - 2 \right\} ^{2} - 1$ ㉠에서 $\left\{ g ( y ) - 2 \right\} ^{2} - 1$$= ( y ^{2} - 1 ) ^{2} - 1$ 따라서 $g ( y ) - 2 = \pm ( y ^{2} - 1 )$ 즉, $g ( y ) = 2 \pm ( y ^{2} - 1 )$ 그런데 $g ( 0 ) = 1$이므로 $g ( y ) = 2 + ( y ^{2} - 1 ) = y ^{2} + 1$ ∴ $f ( 7 ) + g ( 7 )$$= 24 + 50 = 74$ ⅱ) $g ( 0 ) = - 3$일 때, $f ( x ) = ( x + 2 ) ^{2} - 1$이므로 $f ( g ( y ) ) = \left\{ g ( y ) + 2 \right\} ^{2} - 1$ ㉠에서 $\left\{ g ( y ) + 2 \right\} ^{2} - 1$$= ( y ^{2} - 1 ) ^{2} - 1$ 따라서 $g ( y ) + 2 = \pm ( y ^{2} - 1 )$ 즉, $g ( y ) = - 2 \pm ( y ^{2} - 1 )$ 그런데 $g ( 0 ) = - 3$이므로 $g ( y )$$= - 2 + ( y ^{2} - 1 )$$= y ^{2} - 3$ ∴ $f ( 7 ) + g ( 7 )$$= 80 + 46 = 126$ ⅰ), ⅱ)에서 가능한 $f ( 7 ) + g ( 7 )$의 값은 $74$ 또는 $126$이므로 구하는 $f ( 7 ) + g ( 7 )$의 최댓값은 $126$이다.