함수방정식 다항함수

$x \left\{ f ( x + y ) - f ( x - y ) \right\} = 4 y \left\{ f ( x ) + g ( y ) \right.$에서 $\displaystyle x \times \frac{f ( x + y ) - f ( x - y )}{2 y} = 2 \left\{ f ( x ) + g ( y ) \right\}$ $f ( x )$, $g ( x )$는 다항함수이므로 연속이고 미분가능하다. 따라서 $\displaystyle \lim\limits _{y\rightarrow 0} \left\{ x \times \frac{f ( x + y ) - f ( x - y )}{2 y} \right\} = x f' ( x )$, $\displaystyle \lim\limits _{y\rightarrow 0} 2 \left\{ f ( x ) + g ( y ) \right\} = 2 \left\{ f ( x ) + g ( 0 ) \right\} = 2 \left\{ f ( x ) + 1 \right\}$ ∴ $x f' ( x ) = 2 \left\{ f ( x ) + 1 \right\}$ $f ( x )$가 최고차항의 계수가 $a$인 $n$차 함수라 하면 $x f' ( x )$의 최고차항의 계수는 $an$이고 $2 \left\{ f ( x ) + 1 \right\}$의 최고차항의 계수는 $2 a$이므로 $n = 2$이다. $f ( x ) = ax ^{2} + bx + c$라 하면 $x ( 2 ax + b ) = 2 ( ax ^{2} + bx + c + 1 )$에서 $b = 0$, $c = - 1$ 또한 $f ( 1 ) = a + b + c$$= a + 0 - 1 = 4$에서 $a = 5$ ∴ $f ( x ) = 5 x ^{2} - 1$ ∴ $f' ( x ) = 10 x$ ∴ $f' ( 2 ) = 20$ [다른 풀이] $x f' ( x ) = 2 \left\{ f ( x ) + 1 \right\}$에서 $\displaystyle \frac{f' ( x )}{f ( x ) + 1} = \frac{2}{x}$ 위 식의 양변을 $x$에 대하여 적분하면 $\ln ( f ( x ) + 1 ) = 2 \ln x + C$ $f ( 1 ) = 4$이므로 $C = \ln 5$ 따라서 $\ln ( f ( x ) + 1 ) = \ln 5 x ^{2}$에서 $f ( x ) + 1 = 5 x ^{2}$ 즉, $f ( x ) = 5 x ^{2} - 1$